Párate en una ladera con un mapa. La altura depende de dos cosas a la vez: qué tan al este estás y qué tan al norte. El cálculo de una variable maneja una entrada a la vez. La ladera pide una pregunta nueva: de todas las direcciones en que podría dar un paso, ¿cuál sube más rápido?
Casi nada real depende de un solo número. La temperatura en el bloque de un motor depende de la posición en tres dimensiones. El error de un modelo de lenguaje depende de miles de millones de pesos ajustables. La presión del aire depende del lugar y del tiempo. Y lo que compras depende de al menos dos cosas a la vez: si el arroz sube de precio, cambia lo que gastas en arroz, pero también en pollo. Este curso toma las ideas de pendiente y área del Cálculo (34/32) y las deja vivir en más de una dimensión. Sorprende lo poco nuevo que hace falta: una flecha nueva, el gradiente, y una regla contable nueva, la idea de que lo que sale de una región es lo que se produce dentro.
Quién la cursa: los estudiantes de Economía en el segundo año, de Ingeniería y de Física; los de Informática la encuentran cuando el aprendizaje automático la necesita. Según el país se llama Cálculo II, Cálculo en varias variables, Cálculo vectorial o Análisis matemático II.
Para qué sirve: calcular cambios y totales cuando muchas cosas varían a la vez.
Viene después de: Cálculo (34/32).
Lleva a: Microeconomía (34/14) y Econometría (34/36) en esta carrera; Aprendizaje automático (34/30); y, en ingeniería, Física II: electricidad y magnetismo (en inglés, 34/07), Mecánica de fluidos (en inglés, 34/15), y a través de ellas Transferencia de calor (en inglés, 34/16) y Propulsión (en inglés, 34/21).
Una línea honesta: después de esta pieza no podrás resolver a mano una integral de superficie. Sí verás por qué un gradiente apunta cuesta arriba, por qué elegir la mejor canasta con un presupuesto es el mismo problema, por qué entrenar una inteligencia artificial es "solo" rodar cuesta abajo y qué dicen en palabras simples los grandes teoremas.
Una función de dos entradas es una superficie: la altura sobre cada punto de un mapa. Los ingenieros la dibujan como los excursionistas, con curvas de nivel: líneas muy juntas significan terreno empinado, líneas muy separadas significan terreno suave. Los economistas la dibujan igual: las curvas de nivel de la satisfacción de un consumidor se llaman curvas de indiferencia.
Para preguntar "¿qué tan empinado?" hay que decir en qué dirección. Camina hacia el este y anota la pendiente: es la derivada parcial respecto de x, que se escribe ∂f/∂x. Deja quieto el este y camina hacia el norte: es ∂f/∂y. La receta es simple: trata las demás variables como congeladas y deriva como antes.
El paisaje de abajo tiene una colina alta cerca de (1, 1) y otra más baja cerca de (−1.2, −0.8). Arrastra el punto sobre el mapa (o usa los deslizadores). La flecha celeste muestra la pendiente hacia el este y la verde la pendiente hacia el norte; una flecha hacia la izquierda o hacia abajo significa que el terreno desciende en esa dirección.
En el punto de partida (−0.2, 0.3) la altura es 0.684, la pendiente hacia el este +0.621 y la pendiente hacia el norte +0.226: el terreno sube en ambas direcciones, más empinado hacia el este.
Junta las dos pendientes parciales en una sola flecha, con la componente este primero: es el gradiente, que se escribe ∇f. Tiene una propiedad hermosa: apunta en la dirección de máximo ascenso, y su longitud es qué tan empinado es. Si das un paso en cualquier otra dirección, la pendiente es la longitud del gradiente por el coseno del ángulo entre tu paso y la flecha. Justo a lo largo de ella, el coseno es 1: lo máximo que puedes obtener. De lado, el coseno es 0: caminas por una curva de nivel y te quedas a la misma altura.
De aquí salen dos consecuencias. El gradiente siempre es perpendicular a la curva de nivel que pasa por ese punto, y por eso el agua corre cruzando las curvas de nivel, no a lo largo de ellas. Y la misma flecha gobierna el calor: en la ley de Fourier, el calor fluye cuesta abajo por el gradiente de temperatura, de lo caliente a lo frío, con una rapidez proporcional a su inclinación. Muchas leyes de difusión tienen esta forma: el flujo sigue el gradiente negativo.
Gira la dirección rosa hasta que la pendiente sea la mayor: se alinea con la flecha naranja. Gírala 90° respecto de la flecha y la pendiente es cero. En la cima de una colina el gradiente se reduce a nada, la versión multivariable de "pendiente cero significa una cima" del Cálculo.
Aquí está la razón de que el curso esté en el segundo año de Economía. Un consumidor tiene un presupuesto y dos bienes, digamos arroz y pollo, y una "satisfacción" que depende de las dos cantidades: es un paisaje, y las curvas de indiferencia son sus curvas de nivel. Sube cuanto quiera, pero no puede salirse de la recta del presupuesto: px·x + py·y = m. El problema es hallar el punto más alto del paisaje que quede sobre esa recta.
La geometría del gradiente lo resuelve. Si caminas por la recta del presupuesto y la satisfacción todavía sube, no estás en lo mejor. En la mejor canasta, la recta del presupuesto toca la curva de nivel sin cruzarla: son tangentes. Y como el gradiente es perpendicular a la curva de nivel, eso quiere decir que el gradiente de la satisfacción apunta en la misma dirección que el vector de precios. Dicho en palabras de microeconomía: el último dólar rinde lo mismo en todos los bienes. La condición se escribe con un número auxiliar, el multiplicador de Lagrange:
Para verlo, usamos una forma muy común en los libros de texto: U = xα·y1−α, con 0 < α < 1 (la forma Cobb–Douglas, que Charles Cobb y Paul Douglas usaron en 1928 para estudiar la producción; los libros de microeconomía la usan también para las preferencias). El presupuesto es de 100 dólares. Arrastra qué parte del presupuesto va al arroz y mira cuándo la satisfacción es la mayor. Un resultado curioso de esta forma: la mejor canasta siempre gasta la fracción α del presupuesto en el arroz, sin importar los precios. Cambia los precios y verás que cambia cuánto compras, no cuánto gastas. Es una propiedad de esta forma particular, no una ley de la economía: los datos reales no siempre la cumplen.
Un consumidor ilustrativo con 100 dólares: los números son inventados.
Con los valores iniciales (α = 0.4, arroz a 2 dólares y pollo a 5), la mejor canasta es 20 kg de arroz y 12 kg de pollo. Es el mismo gradiente de arriba trabajando: en ese punto la curva de indiferencia y la recta del presupuesto tienen la misma pendiente. Y la idea se extiende sin cambios a cien bienes, que es una canasta de verdad. También sirve como modelo básico para pensar la política económica: un impuesto o una transferencia cambian la recta del presupuesto, y el consumidor se mueve a otro punto de tangencia. Más sobre cómo se aplican estos modelos en Microeconomía (34/14).
Ahora cambia el signo. Un modelo de aprendizaje automático tiene números ajustables (pesos), y una pérdida mide qué tan mal se equivoca con los datos de entrenamiento. La pérdida es un paisaje sobre los pesos, con una dimensión por peso. Para aprender, se da un paso pequeño en contra del gradiente, es decir, cuesta abajo, se vuelve a calcular y se repite. Es el descenso del gradiente, que Augustin-Louis Cauchy propuso en 1847 para resolver ecuaciones, mucho antes de las computadoras. La regla de la cadena del Cálculo es lo que permite calcular el gradiente capa por capa, en el método llamado retropropagación, publicado por Rumelhart, Hinton y Williams en Nature en 1986. Un modelo como GPT-3 (2020) tiene 175 mil millones de pesos, así que su paisaje tiene 175 mil millones de dimensiones, y aun así la regla es la misma flecha.
El tamaño del paso importa, y puedes sentir por qué. En el cuenco de abajo, una dirección es doce veces más empinada que la otra. Un paso demasiado pequeño se arrastra; uno justo es rápido; uno demasiado grande hace que cada paso se pase del fondo del valle por más de lo que había al empezar, y la pérdida explota. Para este cuenco, los pasos mayores que 1/6 (unos 0.167) divergen.
El entrenamiento real usa refinamientos (impulso, pasos adaptativos, minilotes aleatorios), pero todos son maneras de lidiar con exactamente este dibujo: un valle largo y angosto donde la dirección más empinada no es la dirección del destino.
Las integrales se extienden del mismo modo. Una integral simple suma rebanadas delgadas a lo largo de una línea. Una integral doble suma parcelitas diminutas sobre un área: si cada parcela tiene una densidad (habitantes por kilómetro cuadrado), la suma es la población del terreno. Una integral triple hace lo mismo sobre un sólido, con densidad en masa por metro cúbico. La receta es rebanar, multiplicar y sumar, repetida una vez por cada dimensión.
Las mismas sumas dan también el centroide, el punto de equilibrio: pondera cada posición por la masa de su pieza y divide entre el total. Los ingenieros lo usan todo el tiempo: el centro de masa de un cohete, un auto o un avión decide si es estable. En economía urbana y en demografía se llama centro de gravedad de la población, y sirve para ver hacia dónde se desplaza una ciudad. Prueba un barrio alargado de 2 km de largo y 1 km de ancho cuya densidad de población sube a lo largo.
La densidad aquí es 1 + ax + by (miles de personas por km²). Con a = 3 y b = 0, la población del barrio es 2 + 2×3 = 8 mil personas y el centro de gravedad queda en x = 1.25 km, desplazado del centro (1 km) hacia el extremo más poblado. Los números son ilustrativos, no de un barrio real.
El viento en un mapa del clima, el agua en una tubería, la atracción de un imán: cada uno asigna una flecha (una dirección y una fuerza) a cada punto del espacio. Eso es un campo vectorial. Dos números calculados con las derivadas parciales del campo dicen casi todo lo que hace localmente.
Divergencia: ¿el campo se está abriendo desde aquí, o converge? Una llave de agua es una fuente; un desagüe es un sumidero. Una divergencia positiva significa que una gota de fluido se está expandiendo. Rotacional (o rotor, en España): ¿el campo gira? Pon una ruedita de paletas en la corriente. Si gira, el rotacional no es cero, y su signo dice en qué sentido.
Elige un campo y deja que una mancha redonda de fluido (las rayas grises muestran dónde empezó) sea arrastrada. Verás que una fuente infla la mancha sin girarla, un remolino la gira sin cambiar su área, y una silla la estira en un sentido y la comprime en el otro conservando su área.
La divergencia y el rotacional son las dos palabras de las ecuaciones de Maxwell del electromagnetismo (Física II, en inglés, 34/07) y de las ecuaciones del flujo de fluidos (Mecánica de fluidos, en inglés, 34/15). Abrirse y girar son las dos cosas que un campo puede hacer localmente, además de desplazarse en conjunto.
Esta es la idea detrás de los tres grandes teoremas, en el lenguaje de una tina de baño. Si el agua sale a chorros por el borde de una región, entonces algunas llaves adentro deben estar produciéndola (o el nivel de adentro está bajando). Suma cada fuente y cada sumidero diminutos de adentro y obtienes el flujo neto que sale por el borde. No hace falta más.
Ese es el teorema de la divergencia (o de Gauss), la versión tridimensional del enunciado. El teorema de Green es la versión plana (el nombre honra a George Green, cuyo Essay de 1828 contenía la fórmula relacionada de superficie a volumen), y el teorema de Stokes relaciona el giro de un campo dentro de una superficie con el flujo alrededor de su borde. Los tres dicen el mismo tipo de cosa: una suma sobre un borde es igual a una suma de cambios locales adentro. Por eso se puede medir una máquina que gira desde afuera, y por eso las leyes de conservación se pueden escribir como "el total de esta región cambia en lo que cruza sus paredes" (forma integral) o como una ecuación sobre cada punto (forma diferencial). En economía, un flujo de dinero o de mercancías entre regiones tiene la misma contabilidad: lo que sale de un país menos lo que entra es lo que ese país produce o acumula.
El primer número suma el empuje del campo a través del propio círculo. El segundo nunca mira el borde del círculo: suma la divergencia de cada parcela de adentro. Coinciden para todo campo, radio y posición. Para la fuente simple (x, y), la divergencia es 2 en todas partes, así que un círculo unitario encierra 2 × π = 6.283 unidades de producción, y exactamente 6.283 salen por su borde.
Con muchas entradas, una pendiente necesita una dirección. Las derivadas parciales son las pendientes a lo largo de los ejes; el gradiente las junta en una sola flecha que apunta cuesta arriba y mide qué tan empinado es. Camina en su contra y haces descenso del gradiente, que entrena modelos con miles de millones de pesos y también describe cómo fluye el calor. Elige a lo largo de una recta de presupuesto y el mismo gradiente te dice la mejor canasta. Las integrales se extienden a áreas y volúmenes, y dan población, masa y centros de gravedad; y para los flujos toda la materia descansa en una sola regla contable: lo que sale de una región por su frontera es lo que produce su interior.
Prueba esto: en cualquier colina, una cuesta de un parque o una calle, busca la línea por la que rodaría una pelota: es el gradiente negativo. Luego fíjate en que el camino de la pelota cruza las curvas de nivel en ángulo recto. Y la próxima vez que pagues en una tienda, pregunta si el último dólar que gastaste te rindió lo mismo que el anterior en otra cosa.
Fuentes. Descenso del gradiente: A.-L. Cauchy, "Méthode générale pour la résolution des systèmes d'équations simultanées", Comptes rendus 25 (1847), pp. 536–538; Claude Lemaréchal, "Cauchy and the gradient method", Documenta Mathematica, volumen extra ISMP (2012). Retropropagación: Rumelhart, Hinton y Williams, Nature 323 (1986), pp. 533–536. Los 175 mil millones de parámetros de GPT-3: Brown et al., "Language Models are Few-Shot Learners" (2020, arXiv 2005.14165). El Essay de Green de 1828 que contiene el teorema que lleva su nombre: biografía de MacTutor y el ensayo mismo. La forma Cobb–Douglas: C. W. Cobb y P. H. Douglas, "A Theory of Production", American Economic Review 18 (suplemento), 1928, pp. 139–165. Calculado en node: el paisaje f = 2e−((x−1)²+(y−1)²)/1.5 + 1.2e−((x+1.2)²+(y+0.8)²)/1.0 y su gradiente analítico (comprobado con diferencias finitas, acuerdo hasta 3 × 10−10); descenso del gradiente sobre ½(x² + 12y²), estable para pasos menores que 2/12; masa (aquí, población) y centroide de la placa con sumas de 3,200 celdas contra las fórmulas exactas; área de la mancha contra ediv·t; flujo por el círculo contra la integral de la divergencia para cuatro campos (acuerdo a 4 decimales). La canasta del consumidor es un ejemplo inventado: con α = 0.4, precios de 2 y 5 dólares y 100 dólares de presupuesto, la mejor canasta es 20 kg de arroz y 12 kg de pollo, con utilidad 200.4·120.6 = 14.72; la canasta inicial del deslizador (70% del presupuesto en arroz) da 35 kg de arroz y 6 kg de pollo, con utilidad 12.15. Las ediciones y los cursos se comprobaron en las páginas de las editoriales y de las instituciones (Cengage Latinoamérica, OpenStax, OpenCourseWare de la Universidad de Cantabria y MIT OpenCourseWare). Adaptada de la pieza en inglés Multivariable Calculus.